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[7] 本文撰写后，德恩先生（herr dehn）已成功证明了这种不可能性。参见他的短评《论等体积多面体》（Ueber raumgleiche polyeder），发表于《哥廷根皇家科学会通报》（Nachrichten d. K. Gesellsch. d. wiss. zu G?ttingen）1900年刊，以及一篇即将发表于《数学年刊》的论文【第55卷，第405-478页】。
4. 直线作为两点间最短距离问题
另一类与几何基础相关的问题如下：我们知道，若从构建普通欧几里得几何所需的公理中剔除平行公理（或假设平行公理不成立），同时保留其他所有公理，就能得到罗巴切夫斯基几何（双曲几何）。因此，我们可将其视为“与欧几里得几何相邻的几何”。
若进一步要求“直线上三点中‘仅有一点在另外两点之间’”这一公理不成立，就能得到黎曼几何（椭圆几何）——由此可见，黎曼几何是“仅次于罗巴切夫斯基几何的另一类非欧几何”。
若想针对阿基米德公理开展类似研究，只需假设该公理不成立，就能得到韦罗内塞（Veronese）与我本人曾研究过的“非阿基米德几何”。
由此引出一个更具普遍性的问题：能否从其他具有启发意义的角度出发，构建出“与欧几里得几何拥有同等合理性的相邻几何”？在此，我想让大家关注一个被许多学者用作直线定义的定理，即“直线是两点间的最短距离”。
这一表述的核心内涵，可简化为欧几里得的“三角形两边之和大于第三边”定理——显而易见，该定理仅涉及“基本概念”（即直接从公理导出的概念），因此更易于进行逻辑分析。
欧几里得在全等定理的基础上，借助外角定理证明了这一命题。但我们不难发现：仅依靠“与线段和角的叠合相关的全等定理”，无法证明欧几里得的这一定理，必须用到“三角形全等定理”（或等价的“等腰三角形底角相等定理”）。
因此，我们不妨设想这样一种几何：它满足普通欧几里得几何的所有公理，尤其满足除“三角形全等定理”（或除“等腰三角形底角相等定理”）外的所有全等公理，同时将“任意三角形中两边之和大于第三边”作为一条特殊公理。
人们会发现，这种几何确实存在——它正是闵可夫斯基在其着作《数的几何》[8]中构建的几何，且被用作他算术研究的基础。因此，闵可夫斯基几何也是“与普通欧几里得几何相邻的几何”，其核心特征可概括为以下两条规定：
1. 与定点o距离相等的点，位于普通欧几里得空间中以o为球心的“凸闭合曲面”上。
2. 若一条线段可通过普通欧几里得空间的“平移”变换变为另一条线段，则称这两条线段相等。
闵可夫斯基几何同样满足平行公理。通过研究“直线是两点间最短距离”这一定理，我构建了另一种几何[9]：它不满足平行公理，但满足闵可夫斯基几何的其他所有公理。
“直线是两点间最短距离”这一定理，以及与之等价的“欧几里得三角形边的关系定理”，不仅在数论中意义重大，在曲面理论与变分法中也发挥着重要作用。正因如此，也因为我相信“深入研究该定理的成立条件”能为“距离概念”及其他基本概念（如平面概念、通过直线概念定义平面的可能性）带来新的启发，所以我认为，构建并系统研究这类几何是极具价值的。
[8] 莱比锡，1896年（指闵可夫斯基《数的几何》一书的出版信息）。
[9] 参见《数学年刊》第46卷，第91页。
5. 不假定定义群的函数具有可微性的李变换连续群概念
众所周知，李（Lie）借助“变换连续群”的概念构建了一套几何公理体系，并从群论的角度证明了这套公理足以支撑几何学。但李在其理论的基础部分就假定：定义群的函数具有可微性。这就留下了一个疑问：在李的理论框架中，“可微性假设”与“几何公理问题”相关联，这种关联是否真的不可避免？还是说，可微性其实是“群概念”与“其他几何公理”的推论，而非必需的前提？
这一思考，连同与算术公理相关的其他问题，共同引出了一个更具普遍性的问题：在不假定“定义群的函数具有可微性”的前提下，我们对李的“变换连续群”概念的研究能推进到何种程度？
李将“有限变换连续群”定义为这样一套变换体系：
x_i = f_i(x_1, x_2, \\dots, x_n； a_1, a_2, \\dots, a_r) \\quad (i=1,2,\\dots,n)
其核心性质是：任取体系中的两个变换（例如）
x_i = f_i(x； a) \\quad \\text{与} \\quad x_i = f_i(x b)
将它们先后作用（即复合），得到的新变换仍属于该体系，因此可表示为
x_i = f_i(x； \\phi_1(a,b), \\phi_2(a,b), \\dots, \\phi_r(a,b))
其中\\phi_1, \\phi_2, \\dots, \\phi_r是关于参数a与b的确定函数。
由此可见，“群的性质”完全体现在一组函数方程中，本身并未对定义群的函数f_i附加其他限制。但李在后续处理这些函数方程（即推导着名的“基础微分方程”）时，却必然假定了“定义群的函数具有连续性与可微性”。
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