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1.康托尔的连续统基数问题
（根据康托尔的定义）若两个集合——即两个由普通实数或点构成的集合——能建立起一种对应关系，使得其中一个集合的每个元素，都能对应到另一个集合中唯一确定的元素，那么这两个集合就被称为“等价”或“具有相同基数”。
康托尔对这类点集的研究，引出了一个看似非常合理的定理，但尽管人们付出了极大努力，至今仍无人能证明它。这个定理是：
任何由无穷多个实数构成的集合（即任何数集或点集），要么与自然数集（1, 2, 3, …）等价，要么与全体实数集（即连续统，也就是一条直线上的所有点）等价。因此，从等价性角度来看，数集只存在两种类型：可数集与连续统。
由这个定理可直接推出：连续统的基数是可数集基数之后的下一个基数。因此，证明该定理能在可数集与连续统之间搭建一座新的桥梁。
我还想提一下康托尔的另一个极具意义的论断——它与上述定理联系极为紧密，或许还能为定理的证明提供关键思路。若一个实数集满足“对集中任意两个数，都能确定谁是‘前一个’、谁是‘后一个’，且若a在b之前、b在c之前，则a一定在c之前”，那么这个集合就被称为“有序集”。一个集合的“自然排序”指的是“小数在前、大数在后”的排序方式，但显而易见，集合的排序方式还有无穷多种。
若我们给定一个集合的某种排序，并从中选出一个子集（即部分元素构成的集合），这个子集也会是有序的。康托尔重点研究了一种特殊的有序集，他称之为“良序集”——其特征是：不仅集合本身有第一个元素，它的每个子集也都有第一个元素。
自然数集（1, 2, 3, …）按自然排序显然是良序集；但全体实数集（即按自然排序的连续统）显然不是良序集——比如，若我们取“一条线段上除去起点后的所有点”作为子集，这个子集就没有第一个元素。
由此引出一个问题：能否用另一种方式对全体实数进行排序，使得它的每个子集都有第一个元素？也就是说，连续统能否被视为良序集？康托尔认为答案应当是肯定的。在我看来，若能直接证明康托尔这一非凡论断（比如，实际给出一种排序方式，使得该排序下的每个子集都能找到第一个元素），将是极为理想的结果。
2. 算术公理的相容性
当我们研究某门学科的基础时，必须建立一套公理体系——它需精确且完整地描述该学科“基本概念”之间的关系。这套公理同时也是对这些基本概念的定义：在我们所研究的学科范围内，任何命题若不能通过有限步逻辑推理从公理推导得出，就不能被认定为正确。
深入思考后会发现一个问题：公理集中的各个公理之间是否存在依赖关系？是否存在某些公理包含共同的“成分”？若想得到一套“公理彼此完全独立”的体系，就必须把这些共同成分分离出来。
不过，在与公理相关的众多问题中，我认为最重要的是：证明公理之间不存在矛盾，即基于公理的有限步逻辑推理，永远不会推出相互矛盾的结论。
在几何学中，公理相容性的证明可通过“构造一个合适的数域”来实现——让这个数域中数的关系，与几何学公理形成对应。这样一来，若从几何公理推出矛盾，在该数域的算术中也必然能发现矛盾。通过这种方式，几何公理的相容性证明，就转化为了算术公理的相容性证明。
另一方面，证明算术公理的相容性需要一种直接方法。算术公理本质上就是已知的运算规则，再加上连续性公理。我最近整理过这些公理[4]，整理时将连续性公理替换为两个更简单的公理：一个是着名的阿基米德公理，另一个新公理的核心内容大致是：在其他所有公理都成立的前提下，数构成的体系是“无法再进一步扩展”的（即完备性公理）。
我确信，通过仔细研究并适当改造无理数理论中已知的推理方法，一定能找到证明算术公理相容性的直接途径。
从另一个角度说明这个问题的重要性：若给一个概念赋予了相互矛盾的属性，我认为从数学意义上说，这个概念“不存在”。比如，“平方等于-1的实数”在数学中就不存在。但如果能证明，通过有限步逻辑推理，永远不会从赋予概念的属性中推出矛盾，那我就认为这个概念（比如满足特定条件的数或函数）的“数学存在性”得到了证明。
就我们目前讨论的算术实数公理而言，证明公理的相容性，同时也是证明“完整实数系”或“连续统”的数学存在性。事实上，当公理相容性的证明完全完成后，那些偶尔出现的、对“完整实数系是否存在”的质疑，将变得毫无根据。
从上述角度来看，全体实数（即连续统）并非“所有可能的十进制小数序列”，也不是“所有可能的基本序列元素生成规则”的集合，而是一个“事物体系”——体系内事物的相互关系由设定的公理支配，且所有能通过有限步逻辑推理从公理导出的命题（也只有这些命题）在体系内为真。在我看来，只有这样定义，连续统的概念才具有严格的逻辑合理性；而且这似乎也最符合经验与直觉给我们的启示。
如此一来，连续统的概念，甚至“所有函数构成的体系”的概念，其存在性与“整数系”“有理数系”，或是康托尔提出的“高阶数系”“基数系”的存在性，在本质上是相同的。因为我确信，后者的存在性（和连续统的存在性一样）都能按上述方式证明；但“所有基数构成的体系”或“康托尔所有阿列夫数构成的体系”则不同——可以证明，无法为它们建立一套我所定义的“相容公理体系”，因此按我的术语，这类体系在数学中是“不存在”的。
从几何基础领域，我想提出以下问题：
[4] 参见《德国数学家协会年度报告》第8卷（1900年），第180页。
3. 等底等高的两个四面体体积相等问题
高斯在给格尔林的两封信中[5]，曾对“立体几何的某些定理依赖于穷竭法（按现代术语，即依赖于连续性公理或阿基米德公理）”表示遗憾。高斯特别提到了欧几里得的一个定理：等高的三角锥（四面体）的体积比等于它们的底面积比。
目前，平面几何中类似的问题已得到解决[6]。格尔林也成功证明了“对称多面体体积相等”——他的方法是将对称多面体分割成全等的部分。但在我看来，要为上述欧几里得定理找到这样的“分割全等部分”的一般证明，很可能是不可能的；而我们的任务，就是给出“这种证明不可能”的严格论证。
要实现这一点，只需找到两个“等底等高的四面体”：它们既不能被分割成彼此全等的四面体，也不能通过“与全等四面体组合”形成两个可分割成全等四面体的多面体[7]。找到这样的两个四面体，就能证明“用分割法证明欧几里得定理”是不可能的。
[5] 参见《高斯全集》第8卷，第241页与第244页。
[6] 除早期文献外，可参见希尔伯特《几何基础》（莱比锡，1899年）第4章【汤森德英译本，芝加哥，1902年】。
