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在僻静处用长杖
于沙地绘制图形，
如此排遣悲愁，几近
忘却自身苦难。
——华兹华斯《序曲·第六卷》
昔有传者云：
风暴骤起，舟人遭难，漂于荒岸。
唯遗一书，偶得保全，乃几何之论着也。
其人虽乏衣食，困于绝境，
常携此书独行（遂为无师之学者），
于幽隐处，以杖画沙，作图推演，
排遣悲愁，几忘己身之苦。
——华兹华斯《序曲·第六卷》
=1850.= 我们研习艺术，是因从大师杰作中获得愉悦；或许正因我们曾浅尝颜料或黏土，方能更深领悟其妙处。我们未必志在成为作曲家、诗人或雕塑家，但渴望懂得音乐、文学与艺术，从中获得快乐与升华。
几何之学亦是如此。我们研习它，是因与这门古老而伟大的学问接触时心生欢喜——数千年来，它吸引无数智者倾尽心血臻于完善，令我们精神为之振奋。若否认学生能从几何学习中获得这种快乐，便等同于承认自身教学的失败。事实上，多数学生虽惯于宣称厌学，却在几何探索中体会到真实的乐趣。这份乐趣部分源于游戏性——这是场必胜却不易胜的博弈；部分源于美学体验，如对形式对称的欣赏，对严丝合缝的欣喜。但更重要的，或许是几何带来的精神升华：与绝对真理的接触，向无限之境的靠近。
生物学中无确凿定论，地质学所知尚浅，社会经济法则众说纷纭——但早在世界成形之前，直角三角形斜边的平方便等于两直角边平方之和；当此世消亡，它仍将成立；火星居民若存在，想必也如我们一般知晓其真。这种与永恒真理的接触所引发的精神升华，依个人禀赋不同，或深或浅地为每个几何学子带来可感知的喜悦——只要他们遇见的，是名副其实的教师。
——d·E·史密斯《几何教学》（波士顿，1911年），第16页
吾辈习艺，盖因得趣于大师之作；若尝操颜料、抟黏土，或能更深悟其妙。
未必欲为作曲家、诗人、雕塑家，然求懂音乐、文学、艺术，从中得乐而升华也。
几何之学，亦若是焉。
习之者，因与这古老伟大之学相接，心生欢喜——数千载来，引无数智者殚精竭虑，臻于完善，足以振吾辈之精神。
若谓学子不能于几何得乐，是自承教学之败也。
实则多数学子，虽常言厌学，然于几何探索中，实有真趣。
其趣或源于游戏——此乃必胜而不易胜之博弈；或源于审美，如赏形式之对称，喜逻辑之严合。然更要者，或许几何所带来之精神升华：接绝对之真理，趋无限之境。
生物学无定论，地质学所知尚浅，社会经济之律众说纷纭——然未有世界之前，直角三角形斜边之方，已等于两直角边平方之和；及此世消亡，其理仍在；火星若有居民，必亦知之如吾辈。此种与永恒真理相接所生之升华，依人之禀赋，或深或浅，皆为几何学子带来可感之悦——唯遇名副其实之师耳。
——d·E·史密斯《几何教学》（波士顿，1911年），第16页
=1851.=关于一位作家及其作品的价值，没有人能比作家自己评判得更到位；因为没人能像他那样，对这些进行如此深入、细致的审视。正是因为这个原因，当一部作品的价值是内在的、不依赖他人看法时，作者就不太会急于去迎合公众的认可。几何学的研究就能带来这种纯粹而完满的内心满足。一个人在这门学科上取得的进步、达到的造诣，都能像他研究中运用的方法那样，用同样严谨精确的标准来衡量。只有当我们对自己的评判标准是否公正产生怀疑时，才会急于通过与他人的标准对比来消除这种不确定性。
在所有涉及品味的事情上，评判标准必然是有些多变的；它基于一种大致的估计，整体或部分总会带点随意性，而且还会因为疏忽、情绪或突发奇想而不断变化。基于这些情况，我毫不怀疑，如果人们彼此隔绝地生活，在这种情况下除了生存之外还有其他事可做，他们会更愿意研究精密科学，而非从事那些怡情的艺术。人们追求艺术上的卓越，主要是为了他人；而投身于精密科学，则是为了自己。因此，在荒岛上，我认为诗人很难自负，而几何学家却仍能享受发现带来的自豪感。——达朗贝尔
《论文人》；《杂集》（阿姆斯特丹，1764年），第一卷，第334页。
论及着者及其作品之优劣，无人能较其自身评判更当。盖因唯有己身，能对之细察深究。几何之学所予人之满足，纯粹而完满，正因于此。人于斯学之进境，所达之高度，皆可如其中所用之法般，以严准度量。唯当吾辈对自身之标准存疑，方急于借他人之标准相较，以释困惑。
若论及品味所及之物，其标准必多变，或源于粗略估算，或全或半带随意，且常因疏忽、脾性、心血来潮而改。由此观之，若人独居而无需忧生存，所事必在精确之学，而非怡情之艺。盖人于艺求卓绝，多为他人；于学致精深，乃为己身。故在荒岛，诗人恐难自负，几何家却可享发现之傲——达朗贝尔语。
——《论文人》；《杂集》（阿姆斯特丹，1764年），第一卷，第334页。
=1852.=如果要确定倾斜度不同的斜面长度，让自由滚动的物体沿这些斜面下滑的时间相等，任何懂相关力学规律的人都会承认，这需要做不少准备工作。但在圆中，对于无数种不同的位置，恰当的排列会自行实现，而且每种情况都极其精确。所有与垂直直径相交（无论交于直径的最高点还是最低点）的弦，无论倾斜度如何，都有一个共同点：物体沿这些弦自由下滑的时间是相等的。我记得有个聪明的学生，在我向他阐述并证明这个定理后，当他完全理解其中的深意时，像被奇迹打动一般。的确，在圆这样简单的图形中，能自然形成如此多样的位置排列，且每种情况都精准无误，确实值得惊叹和称奇。而且，在自然界的奇迹中，除非因其成因难以理解而让人觉得神秘，否则没有哪个能因贯穿其中的美或秩序，更值得人们惊叹了。——康德
《证明上帝存在的唯一可能根据》；《文集》（哈滕施泰因编，1764年），第二卷，第137页。
设欲定诸斜面，其倾斜各异，长度不同，使自由滚动之体沿之而下，耗时皆等。凡明晓其中力学之律者，必知此举需多般预备。然在圆中，纵位置万千，其恰当排布皆自然而成，且每处皆精准无比。盖凡弦，无论与垂直直径交于最高或最低点，倾斜如何，沿之自由下落，耗时必等。忆昔有一聪慧生徒，余为其陈此定理并证之，待其尽悟深意，竟为所动，如遇神迹。诚然，圆这般简素之物，藏此妙理，万千位置皆合，殊可惊叹——康德语。
——《证明上帝存在之唯一可能根据》；《文集》（哈滕施泰因编），第二卷，第137页。
=1853.=这些来自圆的几何学的例子表明，在空间的属性中，存在着无数这样的和谐关系，其中很多体现在高等几何学中各类曲线的关系里。这些关系不仅能通过理性洞察锻炼理解力，还能触动情感，其程度不亚于自然界中偶然出现的美，甚至更甚。——康德
《证明上帝存在的唯一可能根据》；《文集》（哈滕施泰因编），第二卷，第138页。
观圆之几何诸例，可知空间之性中，藏无数和谐关联。高等几何中各类曲线之关系，亦多类此。此等理趣，不仅启智，其动人之处，较之自然偶现之美，或有过之而无不及——康德语。
——《证明上帝存在之唯一可能根据》；《文集》（哈滕施泰因编），第二卷，第138页。
=1854.=
哪怕经过三十年，甚至三百年，几何真理的清晰性和魅力也不会受到影响。比如“直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和”这个定理，如今看来依然像毕达哥拉斯刚发现它时那样美妙夺目。据说他发现这个定理时，为了庆祝，还献祭了一百头牛——这种向科学致敬的方式，在我看来未免有些夸张且不必要。即便在如今这个风气败坏的时代，要是有了重大的科学发现，邀请一两位好友吃顿牛排、喝瓶酒来纪念，还是可以想象的。但献祭一百头牛！那会得到多得让人麻烦的牛肉啊。——c.L.道奇森
《平行线新论》（伦敦，1895年），引言，第16页。
若言几何之真，历三十年或三千年，其明丽与魅力未有稍减。譬如“直角三角形斜边之方，等于两直角边平方之和”，昔毕达哥拉斯初得之，今观之，其美妙夺目如初。闻其当年为庆此理，竟祭百牛——此致敬科学之法，在余观之，未免过甚而无必要。纵在今日这般世风下，若有卓绝之发现，邀一二好友共食牛排、饮美酒以纪之，犹可想象；然百牛之祭，所获牛肉之多，岂不徒增烦扰哉——道奇森语。
——《平行线新论》（伦敦，1895年），序，第16页。
=1855.=毕达哥拉斯发现他的基本定理后，献祭了一百头牛。从那以后，每当有新的真理被发现，所有的“蠢牛”[10]都会瑟瑟发抖。——伯尔尼
引自莫斯可夫斯基：《不朽之箱》（柏林，1908年），第18页。
[10] 在德语口语中，笨蛋或傻瓜被称为“牛”。
毕达哥拉斯得其至理，乃祭百牛。自兹以降，凡新理出，愚钝者[10]皆战栗——伯尔尼语也。
——引自莫斯可夫斯基《不朽之箱》（柏林，1908年），第18页。
[10] 德语俗语中，愚钝者或蠢材谓之为“牛”
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