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模型化思想
数学模型是为了解决现实世界问题而建立的，数学模型是人们认识原型的方式之一。
结合方程，构建数学模型数学应用问题是包含了一个或多个数量关系的具体情节或事件，解决数学应用问题的过程就是从情节中抽象并理顺数量关系的过程，方程是有效地表达、处理、交流和传递信息的工具，是反映客观事物数量变化规律的一种模型。
数学应用问题可以以方程为途径，构建数学模型来解决，在这种情况下所构建的就是方程模型。
相对关系
刘徽对数学概念的定义抽象而严谨。
他揭示了概念的本质，基本符合现代逻辑学和数学对概念定义的要求。
而且他使用概念时亦保持了其同一性。
如他提出凡数相与者谓之率，把率定义为数量的相互关系。
又如他把正负数定义为今两算得失相反，要令正负以名之，摆脱了正为余，负为欠的原始观念，从本质上揭示了正负数得失相反的相对关系。
《九章算术》的算法尽管抽象，但相互关系不明显，显得零乱。
刘徽大大发展深化了中算中久已使用的率概念和齐同原理，把它们看作运算的纲纪。
许多问题，只要找出其中的各种率关系，通过乘以散之，约以聚之，齐同以通之，都可以归结为今有术求解。
一平面（或立体）图形经过平移或旋转，其面积（或体积）不变。
把一个平面（或立体）图形分解成若干部分，各部分面积（或体积）之和与原图形面积（或体积）相等。
基于这两条不言自明的前提的出入相补原理，是中国古代数学进行几何推演和证明时最常用的原理。
刘徽发展了出入相补原理，成功地证明了许多面积、体积以及可以化为面积、体积问题的勾股、开方的公式和算法的正确性。
逻辑定义
刘徽对《九章算术》中的所有数学概念都做了解释或逻辑定义，在解释和定义中，他非常注意数学推理的逻辑性，充分考虑各问题之间的逻辑关系. 在“勾股”章的注释中，明确指出：这一章之所以一开头就提出了勾股定理，是因为“将以施于诸率，故先具此术，以见其源也”。
刘徽用这一精彩的论述，从“逻辑”角度注释了勾股定理出现在“勾股”章开头的必要性. 刘徽认为有些问题不能只限于感性认识，必须在感性认识的基础上提升到理性认识的层面，并在理性认识的基础上形成数学理论. 因而，他从逻辑严谨性出发，对于那些能从逻辑上证明的法则都进行了论证。
数学成就
算术
（1）、在算术方面的主要成就有分数运算、比例问题和“盈不足”算法。
《九章算术》是世界上最早系统叙述了分数运算的着作，在第二、三、六章中有许多比例问题，在世界上也是比较早的。
“盈不足”的算法需要给出两次假设，是一项创造，中世纪欧洲称它为“双设法”，有人认为它是由中国经中世纪阿拉伯国家传去的。
《九章算术》中有比较完整的分数计算方法，包括四则运算，通分、约分、化带分数为假分数（中国古代称为通分内子，“内”读为纳）等等。
其步骤与方法大体与现代的雷同。
分数加减运算，《九章算术》已明确提出先通分，使两分数的分母相同，然后进行加减。
加法的步骤是“母互乘子，并以为实，母相乘为法，实如法而一”这里“实”是分子。
“法”是分母，“实如法而一”也就是用法去除实，进行除法运算，《九章算术》还注意到两点：其一是运算结果如出现“不满法者，以法命之”。
就是分子小于分母时便以分数形式保留。
其二是“其母同者，直相从之”，就是分母相同的分数进行加减，运算时不必通分，使分子直接加减即可。
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