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3. 当（原文未明确变量符号，此处按上下文保留“当”后的留白）绕这些奇点作闭合曲线运动时，函数会发生给定的线性变换。
通过计数常数的方法，已可推断这类微分方程大概率存在；但截至目前，仅在“给定线性变换的特征方程的所有根的绝对值均为1”这一特殊情形下，才得到了严格证明。L.施莱辛格（L. Schlesinger）基于庞加莱（poincaré）的富克斯函数（Fuchsian -functions）理论，给出了这一情形的证明[49]。显然，若能通过某种完全通用的方法解决此处概述的问题，线性微分方程理论的体系将会更加完善。
[49]《线性微分方程理论手册》（handbuch der theorie der linearen differentialgleichungen），第2卷第2部分，第366节。
22. 借助自守函数使解析关系单值化
正如庞加莱（poincaré）首次证明的那样，利用单变量的自守函数，总能将两个变量之间的任意代数关系化为单值的。也就是说，对于任意给定的二元代数方程，总能找到两个关于单变量的单值自守函数，使得将这两个函数代入方程后，方程成为恒等式。
庞加莱还尝试将这一基本定理推广到“两个变量之间的任意非代数解析关系”的情形，且取得了成功[50]——不过，所用方法与他解决上述代数关系单值化问题时的方法完全不同。
然而，从庞加莱对“二元任意解析关系可单值化”的证明中，无法看出能否通过确定“分解函数”（resolving functions）来满足某些额外条件。具体而言，该证明并未表明：能否选择这两个关于新单变量的单值函数，使得当新变量遍历这些函数的解析区域时，能覆盖并表示出给定解析域的所有解析点。相反，从庞加莱的研究[第36页]来看，情况似乎是：除分支点外，解析域中还存在其他特殊点（通常是无穷多个离散的例外点），要到达这些点，只能让新变量趋近于函数的某些极限点。
鉴于庞加莱对该问题的表述具有基础性重要意义，我认为，阐明并解决这一难点是极为必要的。
与该问题相关的，还有“将三个或更多复变量之间的代数关系（或其他任意解析关系）化为单值”的问题——已知该问题在许多特殊情形下是可解的。皮卡（picard）近期关于二元代数函数的研究，可视为解决这一问题的有益且重要的前期探索。
[50]《法国数学会通报》（bull. de la Soc. math. de France），第11卷（1883年）。
23. 变分法方法的进一步发展
截至目前，我所提及的问题大多尽可能明确且具体——因为我认为，正是这类明确具体的问题最能吸引我们，且往往对科学产生最持久的影响。不过，我想以一个一般性问题作为收尾，即谈谈本次演讲中多次提到的一个数学分支——变分法（the calculus of variations）[51]。尽管魏尔斯特拉斯（weierstrass）近期已极大推动了该分支的发展，但在我看来，它尚未获得应有的广泛认可。
人们对变分法缺乏关注，部分原因或许是缺少可靠的现代教科书。正因如此，A.克内泽尔（A. Kneser）在其最新出版的着作中，从现代视角出发、结合现代数学对严谨性的要求来阐述变分法，这一做法更值得称赞[52]。
从最广泛的意义上讲，变分法是“函数变分的理论”，因此可视为微积分（微分学与积分学）的必要延伸。从这个角度看，例如庞加莱（poincaré）关于三体问题的研究，就构成了变分法的一个章节——因为庞加莱正是通过变分原理，从已知轨道出发推导出了具有相似性质的新轨道[第37页]。
在此，我想对演讲开头处关于变分法的一般性论述稍作补充说明。
众所周知，经典变分法中最简单的问题是：找到一个关于变量（原文未明确变量符号，此处按上下文保留“变量”表述）的函数（原文未明确函数符号，此处按上下文保留“函数”表述），使得定积分（原文未写出积分具体形式，此处按上下文保留“定积分”表述）的值，相较于“将（原文未明确函数符号，此处按上下文保留“将”后的留白）替换为其他具有相同初值与终值的关于（原文未明确变量符号，此处按上下文保留“关于”后的留白）的函数”时的积分值，取得最小值。
在通常意义下，一阶变分（原文未写出变分具体形式，此处按上下文保留“一阶变分”表述）等于零，可得到所求函数（原文未明确函数符号，此处按上下文保留“函数”表述）满足的着名微分方程：
（原文未写出方程具体形式，此处按上下文保留空白，标注为方程(1)）
为更深入探究取得所需最小值的必要条件与充分条件，我们考虑积分（原文未写出积分具体形式，此处按上下文保留“积分”表述，标注为积分J）。
现在我们要探讨：应如何将（原文未明确符号，此处按上下文保留“将”后的留白）确定为关于（原文未明确变量符号，此处按上下文保留“关于”后的留白）与（原文未明确变量符号，此处按上下文保留“与”后的留白）的函数，才能使积分J的值与积分路径无关——即与关于变量（原文未明确变量符号，此处按上下文保留“变量”表述）的函数（原文未明确函数符号，此处按上下文保留“函数”表述）的选择无关。积分J具有如下形式[第38页]：
（原文未写出积分具体形式，此处按上下文保留空白）
其中（原文未明确符号，此处按上下文保留“其中”后的留白）与（原文未明确符号，此处按上下文保留“与”后的留白）不含（原文未明确符号，此处按上下文保留“不含”后的留白）；而在新问题所要求的意义下，一阶变分（原文未写出变分具体形式，此处按上下文保留“一阶变分”表述）等于零，可得到方程：
（原文未写出方程具体形式，此处按上下文保留空白）
即关于两个变量（原文未明确变量符号，此处按上下文保留“两个变量”表述）与（原文未明确变量符号，此处按上下文保留“与”后的留白）的函数（原文未明确函数符号，此处按上下文保留“函数”表述），需满足一阶偏微分方程：
（原文未写出方程具体形式，此处按上下文保留空白，标注为方程(1*)）
二阶常微分方程（1）与一阶偏微分方程（1*）之间存在极为密切的联系。通过以下简单变换，这种联系可立即显现：
（原文未写出变换具体形式，此处按上下文保留空白）
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