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对不变量有限性问题的研究，引导我发现了一个更为基础的问题——不变量有限性问题仅是该问题的特殊情形。要解决这一基础问题，或许需要对消元理论及克罗内克代数模系理论进行比以往更细致深入的研究。
设有个整有理函数（略），它们以个变量（略）为自变量，具体形式如下：
（略）
显然，将上述函数表达式代入后，任意个（原文略）函数的整有理组合，最终都会成为关于（略）的整有理函数。然而，可能存在这样的情况：某些关于（略）的有理分式函数，经过上述代换运算后，会转化为关于（略）的整函数。我提议，将所有这类“经代换后可化为关于（原文符号略）的整函数”的关于（原符号略）的有理函数，称为“关于（原文略）的相对整函数”。显然，所有关于（略）的整函数都是相对整函数；此外，相对整函数的和、差、积仍为相对整函数。
由此引出的问题是：是否总能找到有限个相对整函数（略，保留“相对整函数”表述），使得所有其他关于（原略）的相对整函数，都能由这有限个相对整函数经整有理运算表示出来？
若引入“有限整域”的概念，可将该问题表述得更简洁。所谓“有限整域”，是指这样一类函数系：能从其中选出有限个函数，使得该函数系中所有其他函数，都可由这有限个函数经整有理运算表示。如此一来，我们的问题便等价于：证明任意给定有理域上的所有相对整函数，必然构成一个有限整域。
自然地，我们也可结合数论中的限制条件对该问题进一步细化：假设给定函数（原文略）的系数均为整数，且仅将那些“经代换后可化为系数为有理整数的关于（原文留白）的整函数”的关于（原文略）的有理函数，归为“关于（原略）的相对整函数”。
以下是这一细化问题的一个简单特例：给定个以单变量（略）为自变量、系数为有理整数的整有理函数（略），以及一个素数（略述）。考虑这样一类关于（略）的整有理函数：它们可表示为（略）的形式，其中（略）是关于自变量（原文符号略）的整有理函数，而（原文略）是素数（略述）的任意次幂。我此前的研究[34]可直接表明：对于固定的指数（略），所有这类表达式构成一个有限整域。但此处的问题是：对于所有指数（略），情况是否仍如此？即能否选出有限个这类表达式，使得对于任意指数（略），所有对应于该指数的表达式，都可由这有限个表达式经整有理运算表示出来？
从代数与几何的交叉领域中，我将提及两个问题：一个涉及计数几何，另一个涉及代数曲线与曲面的拓扑学。
15. 舒伯特计数演算的严格基础
该问题的核心在于：舒伯特[35]借助其创立的计数演算，依据所谓的“特殊位置原理”或“个数守恒原理”，确定了一系列几何数。我们需要为这些几何数建立严格的理论基础，并精确界定其有效性范围。
尽管如今的代数学在原则上已能保证消元过程的可行性，但要证明计数几何的定理，还需满足更高要求——即对于特殊形式的方程，需实际完成消元过程，并确保能预先确定最终方程的次数及其解的重数。
16. 代数曲线与曲面的拓扑学问题
哈纳克（harnack）[36]已确定平面上n次代数曲线所能拥有的闭合且互不相交的分支的最大数量。由此进一步引出的问题是：这些分支在平面中的相对位置关系如何？以6次曲线为例，我通过一套复杂的方法证实——根据哈纳克的结论，6次曲线最多可拥有11个分支，但这些分支绝非全部都能互不包含（即彼此处于外部），而是必然存在这样一个分支：其内部包含1个分支，外部包含9个分支；或者反过来，内部包含9个分支，外部包含1个分支。在我看来，当分支数量达到最大值时，深入研究这些互不相交分支的相对位置极具意义；同样重要的，还有对空间中代数曲面的叶的数量、形状及位置的相关研究。事实上，到目前为止，人们甚至尚未明确三维空间中n次曲面真正能拥有的最大叶数是多少[37]。
除了这个纯代数问题，我还想提出另一个问题。在我看来，这个问题可通过“系数连续变分”这一相同方法来研究，其答案对于由微分方程定义的曲线族的拓扑学也具有同等重要的价值。该问题是：对于如下形式的一阶一次微分方程，庞加莱边界环的最大数量及位置如何？
（略）
其中p和q是x与y的n次有理整函数。若写成齐次形式，则该方程为：
（略）
其中x、Y、Z是x、y、z的n次有理齐次函数，且需将后者（指x、Y、Z）确定为参数（略）的函数。
17. 用平方和表示定型
若一个含任意多个变量、系数为实数的有理整函数（或型），对变量的所有实数值都不取负值，则称该函数（或型）为“定型”。所有定型构成的集合，在加法和乘法运算下具有不变性；此外，两个定型的商——若该商恰好是变量的整函数——也仍是一个定型。显然，任意型的平方都必然是定型。但正如我已证明的[38]，并非所有定型都能通过型的平方相加得到，因此引出这样一个问题：是否每个定型都能表示为“型的平方和”的商？我已对三元定型给出了肯定答案[39]。同时，对于某些关于“特定几何构造是否可行”的问题而言，还需明确一点：在表示定型时，所用型的系数是否总能从“被表示定型的系数所确定的有理域”中选取[40]？
我再补充一个几何问题:
18. 由全等多面体构建空间
当我们探究平面中“存在基本区域的运动群”时，会得到不同的答案——具体结果取决于所考虑的平面是黎曼（椭圆）平面、欧几里得平面，还是罗巴切夫斯基（双曲）平面。
在椭圆平面的情形下，本质不同的基本区域类型仅有有限种，且只需有限个全等区域就能完全覆盖整个平面；实际上，这类运动群仅包含有限个运动。在双曲平面的情形下，本质不同的基本区域类型有无限种，即着名的庞加莱多边形；要完全覆盖平面，需要无限个全等区域。欧几里得平面的情形则介于两者之间：一方面，存在基本区域的本质不同的运动群类型仅有有限种；另一方面，要完全覆盖整个平面，仍需无限个全等区域。
在三维空间中，存在完全对应的情况。椭圆空间中运动群的有限性，是c.若尔当一个基本定理[41]的直接推论——该定理指出，n个变量的线性代换所构成的本质不同的有限群类型数量，不会超过一个由n决定的有限界限。弗里克与克莱因在关于自守函数理论的讲义中[42]，研究了双曲空间中“存在基本区域的运动群”；最终，费多罗夫[43]、舍恩弗利斯[44]，以及近期的罗恩[45]均已证明：在欧几里得空间中，“存在基本区域的本质不同的运动群类型”仅有有限种。
然而，适用于椭圆空间与双曲空间的结论及证明方法，虽可直接推广到n维空间，但将欧几里得空间的上述定理推广到n维情形，似乎面临极大困难。因此，探究下述问题十分必要：在n维欧几里得空间中，“存在基本区域的本质不同的运动群类型”是否也仅有有限种？
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