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1870. 许多人了解数学，但很少有人懂得数学研究。因为，知道一些命题并从中做出一些浅显的推论，这往往是偶然的，而非通过某种可靠的程序方法，这是一回事；而清楚地了解这门科学本身的性质和特点，深入其最隐秘的部分，并从其普遍原理中获得启示，从而能够熟练地解决无数问题及其证明，这又是另一回事。就像大多数艺术家，通过一次又一次地临摹同一个模特，在绘画上获得了一定的技巧，但除了眼睛所看到的之外，对绘画艺术一无所知；同样，许多人读过欧几里得和其他几何学家的着作后，习惯于模仿他们，设计并证明一些命题，但对于解决更困难的论证和问题的最深刻方法，他们却完全无知。——J.c.拉法耶，《重心定理》（安特卫普，1632年），序言。
众人多识数学，然晓数学研究者鲜矣。盖知若干命题，偶得浅推论，非由确法，此一事也；明晓其学之性与质，探其奥蕴，由其通理而得启示，以娴解万千问题及证明，此又一事也。如多数画师，屡摹一像，虽得绘技，然于绘艺所知不过目之所见；众人读欧几里得及他几何家之书，仿而证数题，然于解难证之深法，全然无知。——拉法耶《重心定理》（安特卫普，1632年），序。
1871. 根据所有合理的教育理论，平面几何的基础知识都应该先于代数学习。几何更基础、更具体，它研究的是事物及其关系，而非符号。——N.m.巴特勒，《教育的意义等》（纽约，1905年），第171页。
依合理之教育理论，平面几何之要，当在代数之先。几何更本、更实，所究者事物及其关系，非符号也。——巴特勒《教育之意义》（纽约，1905年），页一百七十一。
1872. 几何学之所以不如代数学难，原因在于其所用符号的一般性较弱。在代数中，要证明一个关于数的一般性命题，会选取可代表相关任何数的字母，而论证过程非但不会借助特例，甚至要求：除非符号的一般性与论证的一般性相当，否则即便推理本身具有一般性，也不能算作确凿无疑……相反，在几何学中，至少在基础部分，任何命题都可以通过对某一具体例子的推理来可靠地证明……此外，基础几何学的许多结论本身就能通过直观清晰地呈现，这也带来了一定便利，比如三角形两边之和大于第三边；而代数学中，许多基本命题无法从感官中获得佐证，例如a3?b3总能被a?b整除且无余数。——奥古斯塔斯·德·摩根，《论数学的研究与困难》（芝加哥，1902年），第13章。
几何之所以难于代数为逊，盖因其所用符号之通性较寡也。代数之中，欲证关于数之通命题，必取可代诸数之字母。其论证之道，非但不借特例，更要求：除非符号之通性与论证之通性相当，否则纵推理有通性，亦不可为确证……然几何之中，至少其初阶，任一命题皆可借某一特例之推理而确证之……且初等几何之结论，多可由直观自明，此亦一便也，如三角形两边之和大于第三边；而代数中，多基本命题非感官所能证，譬如a3?b3必可被a?b整除而无余。——德·摩根《论数学之研习与疑难》（芝加哥，1902年），第十三章。
1873. 古代几何学的主要特征有：
（1）其概念异常清晰明确，结论的逻辑严密性近乎完美。
（2）完全缺乏一般性的原理和方法……在证明一个定理时，对古代几何学家而言，直线的位置不同，就构成不同的情形，每种情形都需要单独证明。最杰出的几何学家也认为，有必要对所有可能的情形分别处理，且每种情形的证明都要同样详尽。而想出能一次性解决所有不同情形的方法，是古代人力所不及的。——弗洛里安·卡约里，《数学史》（纽约，1897年），第62页。
古几何学之要征有二：
（1）其概念明析确定，结论之逻辑严谨几臻完美。
（2）全然无通理与通法……古之几何家证一定理，线之位置不同，则情形各异，每情形皆需别证。即至伟之几何家，亦以为必分别处理诸般可能情形，且每情形之证皆需详略相当。而欲得一法以尽解诸情形，非古人之能及也。——卡约里《数学史》（纽约，1897年），第六十二页。
1874. 人们注意到，古代几何学家曾使用一种分析法来解决问题，只是他们不愿将这种方法的奥秘传给后人。——勒内·笛卡尔，《指导心智的规则》；《笛卡尔哲学》[托里译本]（纽约，1892年），第68页。
观古之几何家，尝用一分析法以解题，然吝于将其术传之后世。——笛卡尔《指导心智之规则》；《笛卡尔哲学》[托里译]（纽约，1892年），第六十八页。
1875. 古代人研究几何，是针对特定的物体，或者说具体地研究；现代人研究几何，则是针对要考察的现象，或者说一般地研究。古代人在研究完一条线或一个面的所有性质后，才会转向另一条线或另一个面，而且每一项研究对下一项研究几乎没有帮助。自笛卡尔以来，现代人致力于研究与任何图形都相关的问题。他们会提炼出与同一几何现象相关的所有问题，单独进行研究，无论这些现象出现在何种物体中。由此，几何学家得以研究新的几何概念，将这些概念应用到古代人研究过的曲线中，发现了许多古代人从未想到过的新性质。——奥古斯特·孔德，《实证哲学》[马丁诺译本]，第一卷，第3章。
古之治几何者，乃就特定之体，或曰具体而研之；今之治几何者，则就所察之象，或曰一般而研之。古者研尽一线一面之性，方及他线他面，且每研之于后研者鲜有助益。自笛卡尔以降，今者致力于研关乎任一图形之题。他们析取关乎同一几何之象之诸题，独研之，无论其见于何体。由此，几何家得以研新之几何概念，将其用于古者所究之曲线，发见诸多古者未及料之新性。——孔德《实证哲学》[马丁诺译]，卷一，第三章。
1876. 射影几何这一学科竟被如此普遍地忽视，实在令人惊讶，因为在数学领域，没有什么比它更具吸引力了。它既有古代几何学的具体性，又没有其繁琐的特殊性；既有解析几何学的力量，又无需复杂的计算。其思想与方法之美，展现了高等数学所特有的、而初等数学通常缺乏的审美一般性。——《十人委员会关于中学课程的报告》（芝加哥，1894年），第116页。
射影几何此学竟为世所普遍忽视，殊可怪也，盖数学之中，无有更引人入胜者。它兼具古几何之具体，而无其繁琐之特例；有解析几何之能，而无冗杂之计算。其思想与方法之美，彰显高等数学所特有、而初等数学常乏之审美通性。——《十人委员会关于中学课程之报告》（芝加哥，1894年），第一百一十六页。
1877. 存在少量极其简单的基本关系，它们构成了一个框架，射影几何学中其余大量定理都能依据这个框架有序且轻松地推导出来。
只要恰当地掌握这几个基本关系，就能精通整个学科：混乱会被有序取代，人们会看到所有部分如何自然地相互契合，按最美的顺序依次排列，相关部分又如何组合成界限分明的群组。可以说，通过这种方式，人们能触及到那些元素——大自然正是用这些元素，以最经济、最简单的方式赋予图形无数性质。——雅各布·施泰纳，《全集》第一卷（1881年），第233页。
有少量至简之基本关系，构成一框架，射影几何中其余众定理皆可依此框架有序而轻松推衍。
若能恰得此数基本关系，则可精通全学：混乱代之以有序，人可见诸部分如何自然相契，循最美之序依次排列，相关部分又如何合成界限分明之群。由此，人可及于那些元素——大自然正以此等元素，以最省、最简之法赋图形以众性。——施泰纳《全集》卷一（1881年），第二百三十三页。
1878. 欧几里得曾对托勒密国王说（不难理解，国王觉得潜心研究《几何原本》很枯燥）：“在数学中，没有专为国王铺设的大道。”但我们可以补充一句：现代几何学就是一条“皇家大道”。它揭示了“一种机制，借助这种机制，空间世界中最纷繁复杂的现象得以相互联结”（施泰纳语），可以毫不夸张地说，它几乎实现了科学的理想。——赫尔曼·汉克尔，《近几个世纪数学的发展》（图宾根，1869年）。
欧几里得尝对托勒密王言（王觉潜心研习《几何原本》枯燥，此不难解）：“数学之中，无帝王之坦途。”然吾辈可补之：今之几何乃“皇家大道”。它揭示“一种机制，借之，空间世界中最纷繁之象得以相联”（施泰纳语），可谓之几达科学之理想。——汉克尔《近数世纪数学之发展》（图宾根，1869年）。
1879. 射影几何学中两个数学上的基本要素是交比和四边形构造，其余一切都是从这两个要素通过数学推导得出的。——伯特兰·罗素，《几何基础》（剑桥，1897年），第122页。
射影几何中两个数学之基本要素，乃交比与四边形构造，其余皆由此二者数学推导而得。——罗素《几何基础》（剑桥，1897年），第一百二十二页。
1880. ……射影几何学：这是一个广阔无垠的领域，包含无数分支。在其中，实数与虚数、有限与无限地位平等；思维沉醉于一种概念与逻辑对位法的艺术平衡和对称互动之中——这是一个迷人的王国，在这里，思想是双重的，像两条并行的溪流不断流淌。——卡西乌斯·J·凯泽，《科学、哲学与艺术讲座》（纽约，1908年），第2页。
……射影几何：此乃广袤无垠之域，含无数分支。其中，实与虚、有限与无限地位平等；思维醉心于一种概念与逻辑对位法之艺术平衡及对称互动——此乃迷人之境，于此，思想为双，如两并行之溪流不息流淌。——凯泽《科学、哲学与艺术讲座》（纽约，1908年），第二页。
1881. 在这门科学的早期，古人大量运用图解法，甚至是构造的形式。比如，萨摩斯的阿里斯塔克斯估算太阳和月亮与地球的距离时，就构造了一个直角三角形——这个三角形尽可能接近月亮处于方照位置时三个天体所形成的直角三角形，此时通过观测地球上的角度就能确定这个三角形。阿基米德本人虽然是第一个将计算确定法引入几何学的人，但也经常使用同样的方法。三角学的引入减少了这种做法，却并未将其废除。希腊人和阿拉伯人仍将其用于大量研究，而对于这些研究，我们现在认为微积分的使用是必不可少的。——奥古斯特·孔德，《实证哲学》[马丁诺译本]，第一卷，第三章。
昔者，科学肇始之际，古人多以图解之法，甚至构作之式。如萨摩斯之阿里斯塔克斯，测日月离地之距，尝作直角三角形，仿月在方照时三体所成之形，观地角以定其形。阿基米德虽首将算测引入几何，亦常援此法。三角学兴，其用稍减，然未绝也。希腊、阿拉伯之人，犹用之于诸多探究，而今人则以为必赖微积分矣。——孔德《实证哲学》[马丁诺译]，卷一，第三章。
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