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第十五章
数学与科学
1501.为何那些依赖数学的其他科学知识需要费力探寻，而无人愿意花心思钻研数学本身？若不是深知人人都觉得数学极其简单，且早已发现人类心智总是忽视自认为容易的事物，急于追逐新奇高深之物，我定会为此感到诧异。
——笛卡尔
《思维的指导法则；笛卡尔的哲学》[托里译]（纽约，1892），第72页
诸学多倚数理为基，然世人苦求他学，独疏此道，何也？非不知众皆视之为易，亦非未察人心之态：轻其易者，骛其新者。若昧于此，吾必诧之。
——笛卡尔《思之轨范·笛卡尔哲语》（托里译，纽约，一八九二年，第七十二页）
1502.所有定量的测定都由数学掌控。由此立刻可知，任何忽视数学、不与数学结合、不借助其力量区分因定量变化必然产生的多样形态的思辨，要么是空洞的思维游戏，要么至多是徒劳的努力。在思辨领域，许多事物并非源于数学，也不关注数学。我绝非断言这些事物全是无用的杂草，其中或许有许多高贵的植株，但没有数学，它们都无法完全成熟。
——约翰·弗里德里希·赫尔巴特
《着作集》[凯尔巴赫编]（朗根萨尔察，1890），第5卷，第106页
凡量之测度，皆归数理。由此观之，凡思辨之学，若忽数理、不与之相济，又不假其力以辨量之变所生之殊态，非虚言妄论，则徒劳无功耳。思辨之域，虽不乏佳构，然离数理则难臻圆熟，犹嘉禾失沃土，终难丰茂。
——赫尔巴特《文集》（凯尔巴赫编，朗根萨尔察，一八九〇年，第五卷，第一百零六页）
1503.我们所知的事物中，很少不能被转化为数学推理。若不能，便表明我们对其认知极为有限且模糊。当存在数学推理的可能时，若使用其他方法，就如同身边点着蜡烛却偏要在黑暗中摸索一样愚蠢。
——约翰·阿巴思诺特
引自理查德·托德亨特《概率论史》（剑桥与伦敦，1865），第51页
天下可究之物，鲜不能以数理推之。若不可推，则知之未深，识之未明也。数理既具，犹秉烛而行，若舍之而求诸暗，岂非愚哉？
——阿巴思诺特 引自托德亨特《概率论史》（剑桥、伦敦，一八六五年，第五十一页）
1504.数学分析是我们全部实证知识体系的真正理性基础。
——奥古斯特·孔德
《实证哲学》[马蒂诺译]，第1卷，第1章
数理析理，实为吾辈实证之学之根基，理之所在，无可易也。
——孔德《实证哲论》（马蒂诺译，第一卷，第一章）
1505.唯有通过数学，我们才能透彻理解真正的科学。唯有在此，我们才能最高程度地发现科学规律的简洁与严谨，以及人类心智所能达到的抽象高度。任何从其他起点出发的科学教育，都存在基础缺陷。
——奥古斯特·孔德《实证哲学》[马蒂诺译]，第1卷，第1章
欲明格致之真义，非究数理不可。数理之妙，简而有法，严而不忒，其抽象之境，极人心之所能至。若他途而求格致，犹筑室于沙，终非正道。
——孔德《实证哲论》（马蒂诺译，第一卷，第一章）
1506.在当下的知识状态中，我们与其将数学视为自然哲学的组成部分，不如说自笛卡尔和牛顿时代以来，数学一直是整个自然哲学的真正基础——尽管严格来说，它既是组成部分，又是基础。对我们而言，数学的价值与其说在于它所包含的知识（尽管这些知识充实且珍贵），不如说它是人类心智在探究自然现象规律时所能运用的最强有力的工具。
——奥古斯特·孔德《实证哲学》[马蒂诺译]，导论，第2章
自笛卡尔、牛顿以降，数理于格物之学，非独为其支流，实乃根本。其学之妙，非仅在识见之富，更在探赜索隐、穷究物理之能，实为格物致知之利器也。
——孔德《实证哲论》（马蒂诺译，导论，第二章）
1507.数学的概念即一般科学的概念。
——诺瓦利斯《着作集》（柏林，1901），第2部分，第222页
数理之旨，即格致之精要，二者其义一也。
——诺瓦利斯《文集》（柏林，一九〇一年，第二卷，第二百二十二页）
1508.我认为，每一门自然科学只有在具备数学属性时，才是真正的科学……或许存在无需数学的一般自然哲学（即仅关注自然一般概念的哲学），但涉及特定对象的纯粹自然科学（如物理学或心理学），只能借助数学得以实现。由于每门自然科学包含的真正科学成分与其先验知识的多少成正比，因此，每门自然科学成为真正科学的程度，取决于其允许数学应用的程度。
——伊曼努尔·康德《自然科学的形而上学基础·序言》
夫格物诸学，唯涉数理者，方得为实学。或谓离数理亦可成自然之哲，然欲穷物理、究心性，非假数理不可。盖实学之深，与先天之知相埒，而数理之用，实定其高下也。
——康德《自然科学形而上学原理·序》
1509.教师中最盛行的观点是：数学为推理能力提供最佳训练……而在我看来，现代的正确观点是：数学是自然科学的抽象形式，其作为推理能力训练的价值，并非源于抽象性，而是因为它是实际事物的表征。
——塞缪尔·特纳·萨福德《数学教学等》（波士顿，1886），第9页
世之师者多言，数理最益思辨。然今之正论以为：数理者，格物之抽象也。其益思辨，非以其玄，实以其能摹万物之态耳。
——萨福德《数学教授说略》（波士顿，一八八六年，第九页）
