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第十三章 数学与逻辑
=1301.=数学适用于每一项研究，无论是道德的还是物理的。甚至连逻辑规则——数学被严格束缚于这些规则——如果没有数学的帮助也无法推导出来。论证的法则可以简单陈述，但在将其应用于鲜活的语言并通过观察验证之前，必须对其进行巧妙的转换。纯粹而简单形式的三段论不能直接与所有经验相比较，否则就不需要亚里士多德去发现它了。它必须转化为推理喜欢采用的所有可能形式，这种转化就是建立法则过程中的数学操作。
——本杰明·皮尔斯《线性结合代数》；《美国数学杂志》，第4卷（1881年），第97页
算学之用，遍及物理、名教诸学。即名理之规则，若无算学相助，亦难推演。论辩之法，虽可简言其要，然欲施于言语、验于实事，则须变通其式。三段论法，若守其本形，难合万事之变，故待亚里士多德而始彰。必使之千变万化，契合推理之妙，此变通之道，即算学之能事也。
——本杰明·皮尔斯《线性结合代数》；《美国算学杂志》，第4卷（1881年），第97页
=1302.=在数学中，我们看到了我们思维有意识的逻辑活动最纯粹、最完美的形式；在这里，我们清楚地看到了思维前进所需的全部努力和极大的谨慎，看到了精确确定已建立的一般定理来源的必要性，以及形成和理解抽象概念的困难；但我们也在这里学会了相信这种智力劳动的确定性、广度和成果丰富性。
——h.亥姆霍兹《演讲与致辞》，第1卷（布伦瑞克，1896年），第176页
算学之中，名理之思，纯然无杂，尽善尽美。观其研求之勤、思虑之密，可知确立定理须穷其本源；察其抽象之难、理解之艰，可知构建概念非易事。然习之既久，则信此心智之功，必有所成，且其用无穷。
——h.亥姆霍兹《讲演与文辞》，第1卷（布伦瑞克，1896年），第176页
=1303.=数学证明是一种逻辑，其用途不亚于甚至超过学校里通常教授的逻辑，有助于正确塑造心智，扩展心智能力并增强它，使其能够进行精确推理，并在所有情况下——甚至是非数学的主题中——辨别真理与谬误。因此据说，古埃及人、波斯人和斯巴达人很少选举不具备数学知识的人作为新国王，他们认为没有数学知识的人判断不健全，不适合统治管理。
——本杰明·富兰克林
《数学的用途》；《着作集》（波士顿，1840年），第二卷，第68页
算学之证，其于逻辑之道，较庠序所授，或犹过之。此道可正心术、扩识量、坚智质，使人精于推衍，于万事万物间，辨真伪、明是非，即非算学之题，亦无滞碍。昔闻埃及、波斯、斯巴达立君，非通算学者弗选，盖以不通算理者，断事易谬，不足临民而治国也。
——本杰明·富兰克林
《算学之用》；《文集》（波士顿，1840年），卷二，页六十八
=1304.=数学概念从本质上说是抽象的，实际上其抽象程度通常比逻辑学家的抽象程度更高。
——乔治·克里斯托尔
《大英百科全书》（第九版），“数学”条目
算学之念，本性玄奥。其抽象之境，往往高于逻辑之思。
——乔治·克里斯托尔
《大英百科全书》（第九版），“算学”条
=1305.=数学是科学逻辑的巨大钳子……
——G.b.哈尔斯特德
《科学》（1905年），第161页
算学者，科学逻辑之巨钳也……
——G.b.哈尔斯特德
《科学》（1905年），页一百六十一
=1306.=逻辑借用了几何学的规则，却不理解其力量……我绝不想把逻辑学家与几何学家相提并论，后者才教授引导理性的真正方法……每个人都在寻求避免错误的方法。逻辑学家声称能引路，但只有几何学家能抵达，而且除了他们的科学之外，没有真正的证明。
——帕斯卡
（引自A.雷比埃《数学与数学家》，巴黎，1898年，第162-163页）
逻辑借几何之规，然未解其神髓……逻辑之徒与几何之士，岂可同日而语？后者方得导正思维之真法。世人皆求避谬之术，逻辑自诩前驱，实则唯几何能至。舍此学外，无真证之道。
——帕斯卡
（引自A.雷比埃《算学与算家》，巴黎，1898年，页一百六十二至一百六十三）
=1307.=数学如同辩证法，是高级思维的工具，在运用中它像雄辩术一样是门艺术。两者都只看重形式，对内容毫不在意。数学考虑的是便士还是几尼，修辞学扞卫的是真理还是谬误，对两者来说都完全无关紧要。
——歌德
《散文格言》，“自然”第四部分，第946条
算学与辩证，皆为高智之器；施用之际，若辩士之雄谈，乃成妙艺。二者重形而轻质：算学不论数值贵贱，修辞岂分正邪？于彼皆无关宏旨。
——歌德
《散文箴言》，“自然”卷四，第九百四十六条
=1308.=局限在其真正领域内，数学推理非常适合履行健全逻辑的普遍职责：归纳以便演绎，演绎以便构建……它满足于在最有利的领域提供清晰、精确和一致性的模型，仅仅对其进行深入思考，就能让心智准备好使其他概念也尽可能达到其本质所允许的完美程度。其普遍影响更多是消极而非积极的，首先必须在于处处激发我们对模糊、不一致和晦涩的不可战胜的厌恶，只要我们付出足够努力，在任何推理中都确实可以避免这些问题。
