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第六章
数学的学习与研究
601. 阅读任何代数论着时，首要之事是透彻理解其中展示的各个演算步骤及其相互联系。仅靠泛读——无论多么专注——都无法达成这一目标。数学着作不可能将学生必须内化的每个过程都详尽展开。许多结果（例如充斥于论证中的加法、乘法、开平方等运算）的细节会被省略。学生不应轻信这些内容，而必须亲自用笔演算——进行任何数学推演时，手中的笔都不可停歇。——德摩根《数学的学习与难点》（芝加哥，1902年），第12章
读代数着作时，首务在于彻悟书中所示诸般算法，及算法间之关联。然纵悉心研读，亦不可仅靠阅读达成此境。数学着作中，诸多推演步骤需学者自心补全，方算尽握其要——书中每略去加减、乘算、开方等运算细节，而此类推导又俯拾皆是。学者切不可轻信书中结果，必以己笔演算；凡研数学，手中之笔不可暂辍。
——德摩根《数学之研习与难点》（芝加哥，1902），第十二章
602. 学生不应放过任何锻炼数值计算能力的机会，尤其是运用对数表的实践。他将数学应用于实际问题的能力，直接取决于其运算的熟练程度。——德摩根《数学的学习与难点》（芝加哥，1902年），第12章
学者当不失任何机会操练数值计算，尤重对数表之运用。其将数学应用于实际问题之能力，与计算熟练度成正比。
——德摩根《数学之研习与难点》（芝加哥，1902），第十二章
603. 初学者选择的练习题目应当简单，且避免包含极大数值。人的心智无法同时专注于两件事：若复杂的数字运算已耗尽全部注意力，便无暇观察所遵循法则的原理。——德摩根《数学的学习与难点》（芝加哥，1902年），第3章
初学者选习题，宜从简易者始，勿用大数。盖人之脑力不可分心二用：若数字繁复至耗竭心神，则无暇体悟算法之原理。
——德摩根《数学之研习与难点》（芝加哥，1902），第3章
604. 欧几里得与阿基米德被公认为智者，其论述皆经严谨证明。但若有人通读其着作时未能领悟证明的关联与结论的实质——即便理解全部字句——他依然一无所获。他或许会相信，却并不真正理解这些数学家的言说，因而其数学知识不会因阅读权威着作而有丝毫增进。——洛克，约翰《理解力指导》，第24节
世人皆谓欧几里得与阿基米德学识渊博，所言皆有论证。然若读其书而不解证明之脉络、不明推导之要旨，纵识其所有文字，亦未增学识。此乃信其言而非知其理，虽读名家经典，于数学之道实无进益。
——约翰·洛克《理解的指导》，第二十四节
605. 学生应以最持久的专注力研读着作，以把握每句话的含义。若书籍编写得当，这种精读必有所获：即便没有示例辅助，正文本身也应足够清晰。遗憾的是，读者常草率掠过正文，不作切实深入的理解，便急于通过例题来澄清本可通过细读正文消解的困惑。在我看来，严谨推敲文本的习惯有多重意义：对语言的缜密剖析，无论对学术研究还是现实生活都是极有价值的训练。在高等数学领域，这种习惯更不可或缺——冗长的论证中不可能处处插入示例，学者必须逐句攻克并掌握那些复杂而宏大的推理。——托德亨特，伊萨克《数学自学指南》；《学科冲突及其他论文集》（伦敦，1873年），第67页
学者读典籍，当凝神细思，以求通晓每句真意。若书为佳作，必经得住细究，且文义自明，纵无例题亦不难解。然世人常匆匆掠过正文，不肯悉心思索，动辄依赖例题释疑——实则若深思文本，本不应有晦涩之处。于我而言，审慎研读正文之习惯至关重要：推敲文句，于治学与处世皆为可贵操练。至高深数学领域，此习惯更是必需——复杂长推导中，断无处处插例题之理，学者唯逐句攻克冗长论证。
——艾萨克·托德亨特《数学自学论；学科冲突及其他论文》（伦敦，1873），第67页
606. 难免会遇到无法理解或理解不透彻的段落，此时当如何应对？在给予合理程度的专注后，学生不妨暂时跳过，将晦涩处留待日后解决……自学者的自然倾向往往不是过早放弃难题，而是在其上耗费过长时间。不愿承认挫败的骄傲与不甘受阻的倔强，会驱使人持续努力——即便成功似乎无望。唯有经验能让我们确信：当心智彻底疲惫时，既无力沿既定方向有效推进，也缺乏开拓新径的弹性；而暂时搁置后再度回归，反而可能达成目标。——托德亨特，伊萨克《数学自学指南》；《学科冲突及其他论文集》（伦敦，1873年），第68页
书中或有不解或难解之处，当如何处之？于某段文字凝神思索后，可暂置不顾，留待他日再究……我以为，自学者常犯之病，非过早跳过难点，而是滞留过久——不甘认输之傲、不愿受挫之毅，皆促人在无望时仍强行苦思。唯历经世事方知：心力耗尽时，既难沿旧路前行，亦难另辟新径；暂离所研，他日再返，或能得偿所愿。
——托德亨特，伊萨克《数学自学指南》；《学科冲突及其他论文集》（伦敦，1873年），第68页
607. 任何值得研读的数学着作都必须以往复回环的方式阅读——若允许我如此表述。我会稍修改拉格朗日的建议：继续前进，但要时常折返以巩固信念。遇到艰涩乏味的段落时，不妨暂时跳过；待后文显明其重要性或实际需求时，再回头攻克。——克里斯塔尔，乔治《代数（第二部）》（爱丁堡，1889年），前言第8页
凡堪精研之算学典籍，皆宜循“往复周流”之法以读之。吾稍变拉格朗日之策曰：“勉力前行，然须常回溯以固其信。”遇诘屈难通之章，可暂置之；待后文彰显其要义或见诸实用时，再返而攻坚。
——克里斯塔尔，乔治《代数（第二部）》（爱丁堡，1889年），前言第8页
608. 现代剑桥数学教材中庞大的习题集堪称其独特标志——国外数学论着乃至早期英语教材都鲜见如此编排。这一现象表明：掌握数学未必需要永无止境的习题演练......不必困囿于例题，你们的主要任务（我甚至可以说唯一任务）应是透彻理解作者的正文。——托德亨特，伊萨克 《数学自学指南》；《学科冲突及其他论文集》（伦敦，1873年），第74页
今世剑桥算学教本，其习题浩繁，此诚为特色。异国算论，乃至昔时英人所着教本，鲜见如是编次。由此观之，欲通算学，未必穷极习题；诸君无庸拘于例题，务当精研正文，此诚为要务，甚至可谓唯一之务也。
