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——m·p·E·m·贝特洛，《作为教育工具的科学》；《大众科学月刊》（1897年），第253页
数学可使少年明证理之要，习于构建环环相扣之思维脉络，终得确凿定论；以德性观之，更能涵养其对真理至诚至敬之心。且代数、微积分诸学，尤能启发符号之智。符号为思维利器，可凝缩万物关联，拓吾人心智疆界。此等辅助于数学中妙用无穷，盖因其与定义契合无间，较物理、博物诸科为胜。
实则唯数学之教，可尽发心智与德性之潜能；若教学得法，使学者自探其理，则潜能愈显，功益深矣。
——m·p·E·m·贝特洛，《作为教育工具之科学》；《大众科学月刊》（1897年），第二百五十三页
439.数学知识的价值，不仅在于它作为实现其他目的的工具，更在于其自身的存在意义。我们在数学系统性的外在发展与内在建构中，见证了最纯粹、最完整的逻辑思维活动——它是至高智力之美的化身。
——阿尔弗雷德·普林斯海姆，《论数学的价值与所谓无用性》；《德国数学家协会年报》第13卷，第381页
夫数学之价值，非独为致他务之器，更在其本体之妙谛。观夫数学，其外展体系，内构理脉，皆显至纯至全之逻辑思维。此诚为至高智美之化身也。
——阿尔弗雷德·普林斯海姆，《论数学之价值与所谓无用性》；《德国数学家协会年报》第十三卷，第三百八十一页
440.数学从其所探讨关系的独特本质中，从简明而精确的表述方式中，从无数定理串联所展现的严谨逻辑中，获得了无可估量的优势。这些优势理应得到充分而专门的阐释。
——杜格尔德·斯图尔特，《人类心灵哲学》第2部第2章第3节
数学之利，源于其所究关系之独异，述理之简确，及诸定理相贯之严整逻辑。此无量之优长，诚宜详加阐发。
——杜格尔德·斯图尔特，《人类心灵哲学》第二部第二章第三节
441.我并不打算深入探讨——作为逻辑推理代表的数学研究，究竟该在基础教育中占据何等地位。但这确实是当今核心议题之一。随着科学疆域的扩展，其体系与组织必须不断完善，这必然要求学者接受比文法教育更严格的思维训练。
根据我对古典文科学校转入理工医学生的观察：首先，他们普遍缺乏严格运用普适法则的习性。长期学习的语法规则总附带冗长的例外清单，导致他们难以养成从绝对普适法则进行严谨推导的思维习惯。其次，他们往往过度依赖权威，甚至在可独立判断时亦然。
这是因为人文学科研究中，很少能一眼穷尽所有前提，争议问题的裁决常取决于对表达美感或语言特性的审美感知——这种感知需长期训练才能获得。因此即便最优秀的教师，也常将学生引向权威着作。
这两种缺陷都源于思维惰性与模糊性，其危害远超学术研究范畴。而数学正是根治这两者的良方——在这里，推理具有绝对确定性，唯一认可的权威便是自己的智慧。
——赫尔曼·冯·亥姆霍兹，《自然科学与一般科学的关系》；《科学通俗讲座》阿特金森版（纽约，1900年），第25-26页
仆无意深论数学——此逻辑推理之圭臬，于蒙学当居何位，然此实为今世要务。方今科学日辟疆土，其体系规制亟须完备，故学者必受严于文法之思维锻砺。以仆观古典文科诸生转习理工医者，其弊有二：其一，鲜循普适之规。彼等久习文法，常遇繁冗特例，故难成据绝对通则严谨推演之习。其二，每倚仗权威，虽可自断，犹然如此。
盖人文学术，其理难一蹴而穷，争议之判，多赖辞藻美感、语言特质之品鉴，此非久习莫能得。是以良师亦常导生徒宗仰典籍。
此二弊皆因思惰识昏，其害非独囿于学术。而数学者，恰为对症良药。盖于数学之域，推演必求确凿，唯己之智为尊，他无权威可恃也。
——赫尔曼·冯·亥姆霍兹，《自然科学与一般科学之关系》；《科学通俗讲座》阿特金森版（纽约，1900年），第二十五至二十六页
442. 什么使一个问题明确，什么让它不明确，最好从数学中理解。在误差范围内解决问题的极其重要的理念，正是源自数学的理性文化要素。通过曲线综合波动的艺术，在概念上可远超最初学习它的数学领域。定律与系数的区别适用于所有因果关系的部门。概率证据理论是数学对逻辑的贡献，具有至高重要性。——亚历山大·贝恩
《作为科学的教育》（纽约，1898年），第151-152页
欲明问题之显晦，莫若取鉴数学。夫以误差为界而解纷难，此至要之理，实肇端于数学之理性。其以曲线统摄波动之术，推而广之，可超数学藩篱。定律与系数之别，通乎因果诸域。概率证理之说，乃数学馈于逻辑之珍，厥功至伟。
——亚历山大·贝恩，《作为科学之教育》（纽约，1898年），第一百五十一至一百五十二页
443. 我们承认一个事实：有些人的心智天生需要抽象科学的严格逻辑来滋养；那种从前提严密推导出结论的思维序列，路径或许艰难狭窄，年轻的理性可能觉得难以攀登，但绝不会迷失方向。只要前进，就必然向上……即便对天生擅长道德证据和审美关系理解的不同心智，精确科学的研究仍是防止其易犯错误的最佳保障。尽管语言研究在许多方面是重要的逻辑训练，但必须承认，若没有数学训练，几乎不可能形成高度务实的思维。——爱德华·埃弗里特
《演说与演讲》（波士顿，1870年），第2卷，第510页
夫人之智性，固有需抽象科学之严格逻辑以滋养者。彼自前提推衍结论之思维脉络，虽险峻逼仄，年少之智或觉攀登维艰，然循之而行，必有所进，不至迷途。即有敏于道德之证、擅悟审美之妙者，研精于数理之学，亦可免蹈舛误。虽语言之习于逻辑训练多有裨益，然若无数学之功，终难成务实之思维。
——爱德华·埃弗里特，《演说与演讲》（波士顿，1870年），第二卷，第五百一十页
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