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=109= 数、位置和组合......这是三个相互交叉但又截然不同的思想领域，所有数学概念都可以归入其中某一个或多个领域。——J·J·西尔维斯特《哲学杂志》第24卷（1844年）第285页；《数学论文集》第1卷第91页
数、位置、组合……此三者，理虽相交而界域分明，凡数理之思，罔不归焉。——西尔维斯特《哲学杂志》廿四卷（1844年）第285页；《算学文钞》卷一第91页
=110= 有三个主导思想，或者说三个思想领域，贯穿整个数学科学体系。每个数学真理都可以归入其中一个或几个领域：这就是数、空间和顺序这三个基本概念。
算术研究抽象数字的性质。在作为运算科学的代数中，顺序是主导思想。几何学的任务则是推演空间的性质，或者研究存在于空间中的物体的性质。——J·J·西尔维斯特
《几何学试讲》，约克英国科学促进会报告（1844年）第二部分；《数学论文集》第2卷第5页
数学之学，贯以三端精义，或谓三大思域，诸般数理真谛，咸可统摄于一域或数域之中，此即数、空间、顺序三基要也。
算术者，专研抽象之数之性；代数作为运算之学，以顺序为纲；几何之务，则在推衍空间之特质，兼究空间诸物之属性。
——J·J·西尔维斯特《几何学试讲》，载《约克英国科学促进会报告》（1844年）第二编；《数学论文集》第二卷，第五页
=111= 纯数学的研究对象是通过假设某些元素包含在某个有序流形中，而在任何构想元素之间建立的概念关系；这个流形的排序规律必须由我们选择；在唯一可设想的两种流形（离散的和连续的）中都是这种情况。——E·帕佩里茨
《论纯数学科学体系》，《德国数学家联合会年报》第1卷第36页
纯数学之所究，乃设元素含于有序流形，而推其概念之关联。此流形之序律，可任我择取；离散连续二种流形，皆如是也。——帕佩里茨
《纯数科学体系论》，《德意志算学会年报》卷一第36页
=112= 纯数学并不关心量的大小。它只是关于相对有序的思维操作的符号理论，这些操作已经变得机械化。——诺瓦利斯《着作集》（柏林，1901年）第二部分第282页
纯数学非关量也，乃机械思维操作之符号规范耳。——诺瓦利斯《文集》（柏林，1901年）第二册第282页
=113= 任何能够通过有限数量的规定（比如指定有限数量的元素）来明确和完全确定的概念，都是数学概念。数学的功能就是发展一组数学概念定义中所蕴含的推论。这组概念成员之间的相互依赖和逻辑一致性是必须的，否则这组概念要么需要被当作几个不同的组来处理，要么就超出了数学的范畴。——乔治·克里斯塔尔
《大英百科全书》（第九版），条目
凡概念能由有限条件确断者（如指定有限元素），皆为数学概念。数理之职，在推演概念群定义所含之必然。若群中诸元互依且逻辑自洽，可为一系；不然，则当别论，或非数理所辖。——克里斯塔尔《大英百科全书》（第九版）「数学」条
114. 纯粹的形式科学，即逻辑与数学，研究那些独立于对象具体内容或实质的关系。数学尤其处理涉及数量、度量和数字概念的客体间关系。——汉克尔《复数系统理论》（莱比锡，1867），第1页。
纯粹形式之学，逻辑与数学，究事物之关系，不拘其质与内容。数学尤重度量、数与大小之比。——汉克尔《复数数系论》（莱比锡，1867），页一。
115. 量是按照固定且自洽的规律进行运算的对象。运算者与被运算者的意义皆由这些规律决定。在普通代数中，这些规律即交换律、结合律和分配律；在四元数代数中，除乘法交换律不成立外，其余相同。或许有人质疑此定义是否充分或明确，但读者应思考：该定义必须涵盖皮尔斯的线性代数、逻辑代数等可能尚未发展的体系。——克里斯塔尔《大英百科全书》（第九版）“数学”条目。
量者，依定法相演之术也。演者与被演者，皆由法度得义。常算有三律（交换、结合、分配），四元算则乘法不合交换，余皆同。或疑此义未周，然当知皮尔斯线性代数、逻辑代数等，皆涵其中。——克里斯塔尔《大英百科全书》条。
116. 数学（严格意义上）是一门抽象科学，通过演绎推理探究空间与数量关系的基本概念中隐含的结论。——默里《新英语词典》。
数学者，乃推演空间与数二者关系之隐微，抽象之学也。——默里《新英文字典》。
117. 历代最伟大的思想家通过概念理解形式的一切成就，皆汇聚为一门宏大的科学——数学。——赫尔巴特《裴斯泰洛齐的直观Abc理念》（朗根萨尔察，1890），第1卷，第163页。
古今贤哲以概念明形式之理，荟萃为一大科，是谓数学。——赫尔巴特《裴斯泰洛齐直观Abc理念》（朗根萨尔察，1890），卷一，页一六三。
118. 或许对现代纯粹数学范围最不片面的描述（我不敢称之为定义）是：它以形式为研究对象——此处“形式”取极广义，包括代数形式、函数关系、有序集合（如数）中的次序关系，以及运算群的形式特性分析。——霍布森《英国科学促进会主席致辞》（1910）；《自然》第84卷，第287页。
近世纯粹数学，可泛谓之形学：包代数之形、函数关系、有序集合之次序、运算群之形式特性。——霍布森《英国科学促进会致辞》（1910）；《自然》卷八四，页二八七。
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