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接下来,少年又把一整棵树(称为树0),作为新树的端点,这次每一个端点可分裂的数量调整成了ω^ω,再把新树无限延伸,称为树1,这样防护服的数量就达到了(ω^ω)^(ω^ω)。
树1,树2,树3……树无穷。
在这个过程中,他对创世神权限的理解更加深入,他似乎可以进行一些更本质的操作了。
但他没有沉浸在深入掌握权限的喜悦中。
因为他发现,在序数迭代的过程中,可数的序数虽然在增加,但仍然无法摆脱可数的樊篱,别说不可数序数了,即使是最小的不可计算序数ω???都达到不了,更别说后面几乎无穷无尽的迭代序列。
不能这样下去了!
望着面前无穷多的防护服,少年灵光一闪,他尝试直接跳过可数序数无穷无尽的堡垒,开始构建可数基数的每一个子集。
首先是先用有限数的防护服作为模板,让宇宙学习‘分出’子集的过程。
接着,将宇宙的操作对象换成无穷多的防护服,下一刻,全体子集立刻被‘分出’。
全体子集的基数立刻超越了可数的限制,成为了不可数基数,与全体实数的集合等势。
他如法炮制,基数的势开始以一个极快的速度提升,在无穷基数的长阶上节节高升。
接着,他给宇宙设计了一个‘程序’,将某一基数‘分出’子集的过程称为一次。
这样的操作,他要求宇宙在短时间内进行ω次,并因此‘理解’了?_ω,能直接使用?_ω作为序数,接着进行?_ω次,接着,进行?_?_ω次,然后是?_?_?_ω次……
然而仅仅是势的增加还是太缓慢了,这种程度连第一个阿列夫不动点都到不了,更别说后面的世界基数了。
看着面前的防护服,他咬了咬牙,决定玩把大的,将自己的意志极致加速,几乎到达创世神权限的上限,少年开始尝试一些玄之又玄的东西。
最终,防护服的深度,在陈星衍意志的引导下,抵达了名为不可达基数 (Inaccessible Cardinal)的浩瀚领域。
(中括号部分强烈建议跳过)
[何为不可达基数?它是集合论中矗立于无限阶梯高峰的宏伟存在,是第二个正则极限基数。]
[极限 (Limit),是指它本身不是一个“后继数”。如同自然数序列中,??不是任何有限数的后继(你无法找到一个最大的有限数n,使得n+1=??),不可达基数κ,也无法由小于它的任何基数通过“后继”操作达到。它横亘在前方,是前方基数序列一个无法触及的“终点”。]
[正则,是指它的“共尾度”(cofinality) 等于它自身 (cf(κ) = κ)。通俗地说,你无法用“少于κ个”比κ小的集合,通过某种运算(如并集)来“拼凑”出κ的规模,要达到κ的量级,你必须一次性拿出κ那么多的东西。]
[就像??(可数无穷)是正则的,因为有限个(少于??个)有限集合的并集,其大小仍是有限的,永远达不到??。只有??个集合的并集,才有可能达到??的规模。]
而陈星衍用意念构造的不是弱不可达基数,而是强不可达基数,这意味着,它还多了一个性质:强极限 (Strongly Limit)。
[进一步解释就是,对于任何小于κ的基数λ,其幂集(所有子集的集合)的基数 2^λ,仍然严格小于κ!即:?λ < κ, 2^λ < κ。这彻底封死了任何通过“幂集运算”自下而上抵达κ的可能性。]
[如果用第一个正则极限基数??类比理解其“不可达”性,那么极限就是你无法通过不断给有限数加1(后继操作)达到??。]
[正则就是有限个(少于??个)有限集合的并集,大小仍是有限数,远小于??,只有??个集合的并集,才有可能达到??规模。]
[现在,将“有限数”替换成“ZFC公理系统下所有可能的无限基数(如??, ??, ??, ..., ?_ω, 等等)”,将“??”替换成“不可达基数κ”。]
[寻常的无穷基数面对不可达基数就像是有限数对无穷大一样,无论用什么方法叠加、拔升,将‘势’提升数个数量级甚至提高无穷层,在不可达基数面前依旧等于零。]
[怎么把一个普通的无穷基数叠加到不可达基数的程度呢?只有与不可达基数(κ)并集,才能达到不可达基数的规模。]
[就像是有限数加上无穷大才能与无穷大媲美。]
[只要无穷基数没有达到不可达基数的层级,那么无论用什么方法将无穷基数的‘势’向上抬升,都无法触及不可达基数的位阶。]
或者讲得更通俗易懂一些,将【绝对防御】的概念深度提升到了强不可达基数的恐怖层级,意味着什么?
有这样一件防护服,它的防护层数是κ。
拥有正则性意味着,来古士必须一击击穿防护服,不然攻击无效。
拥有极限性意味着,来古士如果一次能击穿一层防护服,那必须攻击κ次,没有攻击(κ-1)次后再来一次这种方案,因为(κ-1)层根本——不!存!在!
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两者相加意味着,来古士想要伤害到被这件防护服保护的陈星衍,他必须在同一瞬间、一次性、毫无间断地,连续击穿强不可达基数(κ)那么多层的、每一层都具备皇者第二步深度的【绝对防御】。
这绝非“力量大一点就能破防”那么简单。
如果来古士自身能攻破的“无限层级”,没有达到强不可达基数(κ)所代表的那个超然高度,那么,无论他的攻击蕴含的能量多么浩瀚,技巧多么精妙,次数多么密集,在击穿κ层防御之前,他的攻击力量就会被这无限叠加的防御概念彻底“稀释”、“迟滞”、“消耗”殆尽。
而整个防护服的防御力还是不可达基数,没有任何损伤。
这就是强不可达基数‘不可自下而上到达’的性质,这也是陈星衍无论如何也要把【绝对防御】深度提升至不可达基数的原因。
姐姐清楚的说过,崩铁宇宙的无限深度达到了皇者两步半,但这两步半具体的位置到底在哪里?他并不知晓。
这个两步半有些太宽广了,从第一个无穷序数ω到冯?诺依曼宇宙V,都在这两步半的范围内。
甚至,还有一些人类尚未发现的无穷性质也可能被它囊括,它们的性质可能超越陈星衍当前的认知。
这些未知就是将来与来古士战斗时可能出现的危险。
陈星衍不会拿自己的生命开玩笑,所以他只能全力以赴。
不过可惜的是,在集合论的尺度上,不可达基数似乎已经是他的上限。
获得创世神权限后,他能够随意的改变规则的深度,但这种操作完全是靠直觉和本能进行。
不知道什么原因,在这片宇宙中虽然他能随意玩弄无穷,但对无穷的理解还是靠脑海中的数学知识。
用姐姐的话说,他只是理解了无限之名,没有触及到无限之形。
他不明白是为什么,只当是因为创世神权限并非自己本来拥有的东西,这力量终究来源于外物。
所以在构建大基数的时候,他只能一边靠直觉叠加,一边用脑海中的知识判断到底到了哪个层级。
“嘶……”当【绝对防御】被叠加到了不可达基数的层级,陈星衍终于发现,继续叠加没有意义了。
他找不到通往马洛基数的路,连达到不可达基数都是靠的灵光一闪。
——他尝试通过描摹任何有限数与可数无穷之间的那层高不可攀的‘界限’,将这‘界限’复制于构造的基数上,使其对此前通过幂集运算构造的一切无穷基数有同样的性质。
为了实现这灵光一闪,他不断模仿和逼近,为此他更改了新宇宙之中的时间流速,用了无法计数的时间才将深度提升到不可达基数的层次。
在这个过程中,纯粹的堆叠已经失去了效果。
而这也让他意识到,无限叠加的路走到尽头了。
虽然他可以通过这个灵光一闪得到的方法继续叠加,将【绝对防御】的势继续提升,让它对不可达基数来说都是不可达基数(也就是下一个正则强极限基数),甚至更进一步,无限套娃,创造出第κ个不可达基数、第κ个不可达基数个不可达基数……以此类推。
但无论怎么套娃,离马洛基数都远得可怕,只是在正则极限基数的一致性层级徘徊。
算了,就这样吧。
(后续操作:将正则强极限性作用于不可达基数,得到第三个正则强极限基数,称为κ?,此过程定义为程序一,将程序一重复κ?次,获得κ_κ?,定义为程序二,将程序二重复κ_κ?次,获得κ_κ_κ……[共κ_κ?层],定义为程序三,一直迭代下去直到极限)
将基数提升到他能做到的极限,构造了一个远超不可达基数的庞大基数,又陆陆续续增加了许多其他数学侧面的无穷性质,陈星衍选择了停下。
他对宇宙规则直觉运用达到正则极限基数层次就已经是上限,至于之后的马洛基数、伍丁基数、莱茵哈特基数乃至于到达完美数学上限的极限集合和一切真类,那是现如今的他无法达到的深度。
见好就收吧。
意念微动,这件最终的成功品被复制了一份作为备用,两件防护服被收纳入须弥空间。
创世权限收回,幽蓝的光门再次于房间中浮现。
陈星衍一步踏出,回到了熟悉的卧室。
新生宇宙的浩瀚与创世神的权柄感如潮水般退去,而疲惫感如潮水般涌来,几乎让他当场昏厥。
目光扫过墙上的时钟,指针已悄然滑过午夜十二点半。
窗外,城市的灯火大多熄灭,只余下零星几点。
深邃的夜空,星辰寂寥,透着来自一百四十亿前的静谧。
“马上就休息……” 陈星衍强忍着疲惫感,在关灯前,给隔壁的凌衣发去一条简短的“晚安”。
做完这一切,他最后看了一眼窗外那片沉静的夜幕,仿佛要将这片刻的安宁刻入心底。
“啪嗒。”
灯灭。
房间彻底融入黑暗,只剩下少年均匀而绵长的呼吸声。
ps:其实不可达基数的数学定义看起来复杂,本质上就是将可数无穷相对于有限数的不可到达性推广到无穷基数上的结果,或者简单粗暴的说,就是相对于所有(ZFC公理可证存在的)无穷大的无穷大,相应的,一致性更强的马洛基数其实也可以粗略理解为:相对于所有(在它之前被构造出来的)不可达基数的不可达基数,只不过马洛基数还使用了驻集的概念来描述其下不可达基数的稠密。
而后面的大基数则是将不同学科的概念引入集合论中,比如说弱紧致基数和拉姆齐基数涉及到图论、不可描述基数涉及到逻辑语句,而更高阶的基数如可测基数、强可展开基数、伍丁基数等涉及到的各种嵌入、内模型和传递集则和函数与模型论有关。
这些基数首先是为了‘足够大’而被创造出来的,它们本身也是某个已有性质的扩展和延伸。